[코딩더매트릭스]Chap07 - 차원 Dimension

Chap 07

차원 - Dimension

7.1 기저의 크기

7.1.1 Morphing 보조 정리와 그 응용

Lemma (Morphing Lemma) : ​ 는 벡터공간이라고 하자. ​ 는 ​ 에 대한 생성자들의 집합이라 하고, ​ 는 ​ 에 속하는 벡터들로 구성된 선형독립인 집합(즉, 기저)이라고 하면, ​ 이다. <br />

Theorem (Basis Theorem) : ​ 는 벡터공간이라 하고, ​ 에 대한 모든 기저(basis)는 동일한 크기를 가진다.

• Proof : ​ 과 ​ 는 ​ 에 대한 두 기저라고 하자. ​ 과 ​ 를 위의 Morphing Lemma 에 적용하면 ​ 라고 할 수 있다. ​ 와 ​ 을 적용하면 ​ 이다. 이 둘의 부등식을 결합하면 ​ 를 얻을 수 있다.

Theorem : ​ 는 벡터공간이라고 하면, ​ 에 대한 생성자들의 집합이 ​ 에 대한 생성자들로 구성된 가장 작은 집합 이 되는 필요충분 조건은 이 집합이 ​ 에 대한 기저인 것이다.

• Proof : ​ 는 ​ 에 대한 생성자들의 집합이라고 하자. 그렇다면, 증명해야 하는 것은

  • (1) 만약 ​ 가 ​ 에 대한 기저이면 ​ 는 ​ 에 대한 생성자들로 구성된 가장 작은 집합이다.

  • (2) 만약 ​ 가 ​ 에 대한 기저가 아니면 생성자들로 구성된 ​ 보다 더 작은 집합이 존재한다.

1. ​ 를 기저라고 하고, ​ 는 ​ 에 대한 생성자들로 구성된 가장 작은 집합이라고 하자. 위의 Morphing Lemma 에 의하면, ​ 이고, 따라서 ​ 또한 생성자들의 가장 작은 집합이다.

2. ​ 는 기저가 아니라고 해보자. 기저는 생성자들로 구성된 선형독립 인 집합이다. 그러므로 ​ 는 기저가 아니라 했으니, ​ 는 생성자들로 구성된 선형종속인 집합이다. 6.5.4의 Lemma에 따르면 ​ 내에 다른 벡터들의 생성에 속하는 일부 벡터들이 있다. 그러므로 Superfluous-Vector Lemma 에 의해, ​ 에서 제거하면 ​ 에 대한 생성자들의 집합이 되는 일부 벡터가 존재한다. 따라서 ​ 는 생성자들로 구성된 가장 작은 집합이 아니다.

7.1.2 생략

7.2 차원과 랭크 - Dimension and Rank

7.2.1 정의 및 예제

Definition : 벡터공간의 차원 은 그 벡터공간에 대한 기저의 크기로 정의한다. 벡터공간 ​ 의 차원은 ​ 로 표현한다. <br />

• Example 7.2.2 : ​ 에 대한 하나의 기저는 표준 기저 ​ 이다. 그러므로 ​ 의 차원은 기저의 크기인 3, 즉 ​ 이다.

• Example 7.2.3 : 좀 더 일반적으로, 임의의 필드 ​ 와 유한집합 ​ 에 대해, ​ 에 대한 하나의 기저는 표준기저이고 이것은 ​ 벡터들로 구성되므로, ​의 차원은 ​ 이다.

<br />

Definition : 벡터들의 집합 ​ 의 랭크(rank)를 Span ​ 의 차원이라 정의한다. ​ 의 랭크는 rank ​ 로 나타낸다.

• Example 7.2.6 : 벡터 ​ 은 선형종속이다. 그러므로 이 벡터들의 랭크는 ​보다 작다. 이들 중 임의의 두 벡터는 세 벡터들의 Span에 대한 기저를 형성한다. 따라서 랭크는 ​ 이다.

<br />

Proposition : 벡터들로 구성된 임의의 집합 ​ 에 대해, rank ​ <br />

Definition : 행렬 ​에 대해, ​ 의 행랭크 는 그 행렬의 행의 랭크이고, ​ 의 열랭크 는 그 행렬의 열의 랭크이다. 즉, ​의 행랭크는 Row ​의 차원이고, ​ 의 열랭크는 Col ​의 차원이다.

• Example 7.2.10 :

• 이 행렬의 행벡터는 ​ 이고, 위의 Example 7.2.6 에서 살펴보았듯이 행벡터의 랭크는 ​이므로, ​의 행랭크는 ​이다.

• 행렬 ​의 열벡터는 ​ 이다. 세 번째 벡터는 영벡터이므로, 열공간을 생성하는 데 필요하지 않다. 나머지 두 벡터는 선형독립이므로 열랭크는 ​ 이다.

<br />

• Example 7.2.11 :

• 행벡터 ​ 들은 선형독립이므로 ​의 행랭크는 ​ 이다.

• ​의 열벡터 ​ 들은 처음 세 열은 선형독립이고 ​ 은 앞의 세 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있으므로 열랭크는 ​이다.

<br />

위의 두 예제를 통해 행랭크와 열랭크가 동일하다는 것을 알 수 있다. 이것은 우연히 동일한 것이 아니라, 어떤 행렬에 대해서도 행랭크 와 열랭크 가 동일 하다.

7.2.2 기하학적 구조

좌표계에 대해 기하학적으로 이해 해보자. 기하적 객체의 차원은 객체의 점들에 할당되어야 하는 최소 개수의 좌표이다. 좌표의 수는 기저의 크기이고, 기저의 크기는 주어진 벡터들로 구성된 집합의 랭크이다.

• Span ​ 은 직선, 즉 1차원 객체이다. Span ​ 은 점, 즉 1차원 구조이다. 첫 번째 벡터공간은 차원이 ​이고 두 번째 벡터공간은 차원이 ​이다.

• Span ​ 은 ​의 모든 것, 즉 2차원 객체를 구성한다. 반면, Span ​ 은 직선, 즉 1차원 객체이다.

• Span ​ 은 ​ 의 모든 것, 즉 3차원 객체이다. 반면에, Span ​ 은 평면 즉, 2차원 객체이다.

<br />

7.2.3 생략

7.2.4 ​ 상의 벡터공간의 크기

​ 는 ​ 상의 벡터공간 ​ 에 대한 차원이라 하고, ​는 ​ 에 대한 기저라고 하면, 6.7.1의 Unique Representation Lemma에 의해, ​ 내의 각 벡터는 기저벡터들의 선형결합으로 유일하게 표현된다. 따라서, ​ 내 벡터들의 수는 이 기저벡터들의 선형결합들의 수와 동일하다. ​ 개의 기저벡터가 있으므로, 각 선형결합에는 ​ 개의 계수가 있다. 각 계수는 ​ 또는 ​ 이므로 ​ 개의 다른 선형결합이 있다.

7.2.5 ​ 에 속하는 벡터들의 임의의 선형독립 집합은 ​에 대한 기저를 형성하도록 확장될 수 있다.

Lemma (Superset-Basis Lemma) : 임의의 벡터공간 ​와 벡터들로 구성된 임의의 선형독립 집합 ​ 에 대해, ​는 ​의 모든 원소를 포함하는 기저를 가진다.

• Proof : 6.3.1 에서 보았던 Grow 알고리즘을 사용해보자.

7.2.6 차원 원리(Dimension principle)

Lemma (Dimension Principle) : 만약 ​가 ​의 부분공간(subspace)이면, 다음 성질이 성립한다.

• Property D1 : ​ 이다.

• Property D2 : 만약 ​ 이면 ​ 이다.

  • proof : ​ 는 ​에 대한 기저라고 하면, 7.2.5의 Superset-Basis Lemma에 의해 ​를 포함하는 ​ 에 대한 기저 ​가 있고, ​의 크기는 적어도 ​이다. 이 의미는 Property D1을 증명한다. 만약 ​의 크기가 정확히 ​이면 ​는 ​이외의 다른 벡터는 포함하지 않으며, ​의 기저는 ​의 기저임을 보여주어 Property D2를 증명한다.

• Example 7.2.15 : ​ 라고 해보자. ​는 ​의 부분공간이다. 집합 ​ 은 선형독립이고, 따라서 ​이다. ​이므로 Property D2는 ​ 임을 보여준다.

• Example 7.2.16 : 집합​에 대해 ​ 이므로, ​ Span ​이다. ​ 내의 모든 벡터는 ​-벡터이므로, Span ​는 ​의 부분공간이고, ​ Span ​ 이다.

위의 예제를 통해 다음을 알 수 있다.

Proposition : ​-벡터들로 구성된 임의의 집합의 랭크는 ​보다 작거나 같다.

7.2.7 생략

7.2.8 Rank 정리

앞의 예제에서 살표보았듯이 행랭크와 열랭크는 동일하다. 이제 왜 행랭크와 열랭크가 같은지 알아보자. <br />

Theorem (Rank Theorem) : 임의의 어떠한 행렬에 대해, 행랭크와 열랭크는 동일하다.

• Proof : 임의의 행렬 ​ 에 대해 ​ 행랭크는 ​의 열랭크보다 작거나 같다. 동일한 주장을 ​ 에 적용하면 ​의 행랭크는 ​의 열랭크보다 작거나 같다. 즉, ​의 열랭크는 ​의 행랭크보다 작거나 같다. 이 두 부등식을 결합하면 ​의 행랭크는 ​의 열랭크와 동일하다. <br />​는 행렬이라 하자. 행렬 ​를 열벡터로 나타내 보자:

• ​ 은 ​ 의 열랭크라 하고 ​ 은 ​의 열공간에 대한 기저라 하자. <br />​ 의 각 열 ​에 대해 ​는 ​의 ​에 대한 좌표 표현이라 하자. 그러면, 행렬-벡터 곱셈의 선형결합 정의에 의해 다음과 같이 표현된다.

• 행렬-행렬 곱셈의 행렬-벡터 정의에 의하면, 다음과 같이 표현되며,

• 이것을 다음 처럼 쓸 수 있다.

• ​는 ​ 개의 열을 가지며 ​는 ​개의 행을 가진다. <br />이제, ​ 와 ​를 열 대신에 행들로 구성된 행렬로 생각해 보자.

• 행렬-행렬 곱셈의 벡터-행렬 정의에 의하면, ​의 행 ​인 ​는 ​의 행 ​인 ​를 행렬 ​에 곱한 것이다.

• 그러므로, 벡터-행렬 곱셈의 선형결합에 의하면 ​의 모든 행은 ​의 행들의 선형결합이다. 따라서, ​의 행공간은 ​의 행공간의 부분공간이다. ​의 행공간의 차원은 ​, 즉 ​의 행의 수보다 작거나 같다. 따라서, ​의 행랭크는 ​ 보다 작거나 같다. <br />위에서 보았듯이, 임의의 행렬 ​에 대해 ​의 행랭크는 ​의 열랭크보다 작거나 같다. 임의의 행렬 ​에 대해, 이결과를 ​에 적용하면 다음이 성립한다.

• 이 결과를 ​에 적용하면,

• 따라서, ​의 행랭크는 ​의 열랭크와 동일하다.

Definition : 행렬의 랭크 는 그 행렬의 열랭크와 동일하고, 이것은 또한 그 행렬의 행랭크와 같다.

7.3 직합 - Direct Sum

7.3.1 정의

​와 ​는 필드 ​상의 ​-벡터들로 구성된 두 개의 벡터공간이라고 하자.

Definition : 만약 ​ 와 ​ 가 오로지 영벡터만을 공유한다면 ​ 와 ​ 의 직합 (direct sum)은 아래와 같이 정의하며,

​ 로 나타낸다. 즉, ​ 는 ​의 벡터와 ​의 벡터의 모든 합으로 구성된 집합이다.

• Example 7.3.3 : ​ Span ​ 라 하고, ​ 는 ​의 영공간(null space) 이라 하자. ​ 와 ​는 아래의 이유로, ​ 가 성립하지 않는다.

  • 벡터 ​는 ​ 이므로 ​ 내에 있다.

  • 벡터 ​는 아래와 같이 ​ 내에 있다.

• Example 7.3.4 : ​ Span ​, ​ Span ​ 라고 하자. ​와 ​ 각각은 단일 벡터의 Span이고, 따라서 직선을 형성한다. <br />유일한 교점은 원점(0,0,0)이다. 따라서, ​는 성립한다. 이 직합은 Span ​ 이며 두개의 직선을 포함하는 평면이다.

Proposition : 직합(direct sum) ​는 벡터공간이다.

7.3.2 직합에 대한 생성자

바로 위의 Example 7.3.4 에서, ​에 대한 생성자들의 집합과 ​에 대한 생성자들의 집합의 합집합을 구하면 직합 ​ 에 대한 하나의 생성자 집합이 얻어진다. <br />

Lemma : 아래 집합의 합집합은

• ​의 생성자들의 집합

• ​의 생성자들의 집합

​에 대한 생성자들의 집합이다.

• proof : ​ Span ​, ​ Span ​ 라고 하면,

  • ​ 내의 모든 벡터는 ​ 으로 표현할 수 있다.

  • ​ 내의 모든 벡터는 ​ 으로 표현할 수 있다.

  따라서, ​ 내의 모든 벡터는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

7.3.3 직합에 대한 기저

Lemma (Direct Sum Basis Lemma) : ​의 기저와 ​의 기저의 합집합은 ​ 의 기저이다.

• Proof : ​은 ​에 대한 기저라 하고, ​은 ​에 대한 기저라고 하면, 기저는 생성자들의 집합이므로, ​은 ​에 대한 생성자들의 집합이다. 이제 기저라는 것을 보이기 위해서 선형독립 이라는 것을 보여주면 된다. 다음 식을 가정해보자.

• 위의 식은 다음이 성립한다.

• 좌변은 ​ 내의 벡터이고, 우변은 ​ 내의 벡터이다. ​ 의 정의에 의하면, ​ 와 ​ 둘 모두에 있는 유일한 벡터는 영벡터이다. 이것은 다음을 보여준다.

• 위의 식들은 선형독립에 의해 자명하다(trivial).

위의 Lemma(Direct Sum Basis Lemma) 에 의해 다음과 같은 Corollary가 가능하다.

Corollary (Direct-Sum Dimension Corollary) : ​

위의 Corollary(따름정리)는 Kernel-Image Theorem을 증명하는데 사용할 것 이다.

7.3.4 벡터의 고유분해 - Unique Decomposition

Corollary (Direct-Sum Unique Representation Collorary) : ​ 내의 임의의 벡터는 ​ 로 유일하게 표현된다. (단, ​)

• Proof : ​은 ​에 대한 기저라 하고, ​은 ​에 대한 기저라고 하면, ​은 ​에 대한 기저이다. ​ ​는 ​ 내의 임의의 벡터라고 하자. ​는 다음과 같이 표현된다.

• ​를 ​로서 나타내는 방법을 고려해보자. ​는 ​ 내에 있고, ​는 ​ 내에 있다. ​ 를 ​ 의 기저에 대해 나타내고, ​를 ​의 기저에 대해 표현하면 다음과 같다.

• Unique-Representation Lemma 에 의해 ​ 이므로, ​는 ​ 내의 벡터와 ​내의 벡터의 합으로 유일하게 명시된다.

7.3.5 여부분공간 - Complementary subspace

Definition : 만약 ​ 이면, ​ 와 ​ 는 ​의 여부분공간(complementary subspace, complementary: 상호보완적인) 이라 한다.

<br />

Proposition : 임의의 벡터공간 ​ 와 ​의 임의의 부분공간 ​에 대해, ​을 만족하는 ​ 의 부분공간 ​ 가 있다.

• Proof : ​ 는 ​에 대한 기저라고 하자. 7.2.5의 Superset-Basis Lemma에 의하면, ​를 포함하는 ​에 대한 기저가 있다. 이 기저를 ​로 나타내고, ​ Span ​ 이라고 하자. ​ 내의 임의의 벡터 ​는 이 기저에 대해 다음과 같이 좌표표현으로 나타낼 수 있다.

• 따라서, 만약 직합(direct-sum)이 옳다는 것을 보여 줄 수 있으면, 즉 ​ 와 ​ 둘 모두에 속하는 유일한 벡터는 영벡터라는 것을 보여줄 수 있으면 ​ 임을 보여주는 것이다.

• 어떤 벡터 ​가 ​와 ​ 둘 모두에 속한다고 하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

• 이것이 의미하는 것은 ​ 이며, ​는 영벡터임을 보여준다.

7.4 차원과 선형함수

선형함수가 가역적인지 아닌지 판단할 수 있는 기준에 대해 알아 보도록 하자. 이것은 또한 행렬이 가역적인지 판단한느 기준을 제공해 준다. 또한 이러한 기준은 중요한 정리인 Kernel-Image 정리를 기반으로 한다.

7.4.1 선형함수의 가역성

선형함수 ​ 가 가역적인지 어떻게 판단할 수 있을까? 알아야 하는 것은 5장에서 배웠던 ​ 가 단사(one-to-one)인지 전사(onto)인지의 여부이다. <br />

One-to-One Lemma에 의하면, ​가 단사함수일 필요충분조건은 그 커널(kernel)은 자명한 경우 즉, ​ 인 경우이다. <br/>

5.10.6에서 ​ 의 상은 Im ​ 이다. 따라서, ​가 전사함수일 필요충분조건은 Im ​ 인 경우이다. <br />

Im ​ 가 ​의 부분공간임을 보여줄 수 있다. 7.2.6의 Dimension principle Lemma에 의하면 ​ 가 전사함수일 필요충분 조건은 ​ Im ​ 이다.

• 선형함수 ​ 가 ​ 이고 ​ Im ​ 이면 가역적(Invertible)이다.

7.4.2 가장 큰 가역적인 서브함수(Subfunction)

​는 아래의 그림과 같이 비가역적 선형함수라고 하자.

그렇다면 여기서 가역적인 서브함수 ​를 정의해보자. 여기서 서브함수 란 ​는 ​의 부분집합이고 ​는 ​의 부분집합이며 ​는 ​의 모든 원소에 대해 ​와 동일하다는 것을 의미한다. <br />

먼저, ​가 전사함수가 되도록 ​를 아래의 그림처럼 선택한다. 그리고, ​은 ​에 대한 기저라고 하자.

그런다음, ​은 ​의 원상(pre-image)라고 하자. 즉, ​을 만족하는 ​내의 임의의 벡터들 ​을 아래의 그림처럼 선택하고, ​ 는 Span ​라고 정의하자.

마지막으로 ​는 ​ 라고 정의한다. <br />

Lemma : ​ 는 전사함수이다.

• proof : ​는 공역 ​ 내의 임의의 벡터라고 하고, 다음을 만족하는 스칼라 ​이 있다.

• ​는 선형이므로,

• 따라서, ​는 ​ 의 상이다.

<br />

Lemma : ​는 단사함수이다.

• Proof : One-to-One Lemma에 의해, ​의 커널(kernel)이 자명한, 즉 ​임을 보여준면 된다. ​는 ​ 내에 있고 ​ 라고 해보자. ​ Span ​ 이므로, 다음을 만족하는 스칼라 ​ 이 존재한다.

• 양변에 ​ 를 적용하면 다음과 같다.

• ​은 선형독립이므로, ​ 이고, ​ 이다.

<br />

Lemma : ​은 ​ 에 대한 기저를 형성한다.

• Proof : ​ 는 ​의 생성이라고 정의되었기 때문에, 이 벡터들이 선형독립이라는 것만 보여주면 된다. 아래의 식을 가정해 보자.

• 양변에 ​ 를 적용하면 다음을 얻는다.

• ​은 선형독립이므로, ​ 이다.

<br />

Example 7.4.4 : ​ 이라 하고, ​ 은 ​라고 정의하자. ​ ​ ​ Col ​ Span ​ 이라고 정의하자. ​에 대한 하나의 기저는 ​, ​ 이다. <br />

이제, ​과 ​에 대한 원상(pre-image)를 선택하자. ​에 대해 계산된 원상은 아래와 같다.

​ Span ​ 라고 하면, ​에 의해 정의된 함수 ​ ​은 전단사함수이다.

7.4.3 Kernel-Image 정리

함수 ​에서 가역 서브함수 ​ 를 구성하는 것은 서브함수의 정의역을 원래 선형함수 ​의 커널에 연관시킨다.<br />

Lemma : ​

• Proof : 다음 두 가지 항목을 증명해야 한다.

  • ​와 ​는 영벡터만을 공유한다.

  • ​ 내의 모든 벡터는 ​내의 벡터와 ​내의 벡터의 합이다.

• 이미 위의 7.4.2 에서 ​의 커널은 자명하다는 것을 보여주었다. 따라서, ​에 속하는 ​의 유일한 벡터는 영(0)이고, 이를 통해 '​와 ​는 영벡터만을 공유한다.' 는 증명이 된다.

• ​는 ​ 내의 임의의 벡터이고, ​라고 하자. ​는 전사함수이므로, 그 정의역인 ​는 ​를 만족하는 벡터 ​를 포함한다. 그러므로, ​이고, 따라서 ​ 이 성립한다. 따라서, ​는 ​ 내에 있고, ​이다.

Example 7.4.6 : Example 7.4.4에서 ​이라 하고, ​ 은 ​라고 정의하자. ​에 대한 기저는 위의 Example 7.4.4에서 ​ 로 구성된다. ​의 커널은 Span ​ 이다. 그러므로 ​ (Span ​) ​ (Span ​) 이다.

Theorem (Kernel-Image Theorem) : 임의의 선형함수 ​에 대해,

• Proof : ​임을 보여준다. 7.3.3의 Direct-Sum Dmension Corollary에 의하면,

• ​은 ​에 대한 기저를 형성하고, 이러한 벡터들의 수 ​은 ​ 에대한 기저의 크기와 동일하다.

7.4.4 선형함수의 가역성 - 다시보기

위의 Kernel-Image Theorem을 이용해 선형함수의 가역성을 판단하는 데 좀 더 나은 기준을 제시할 수 있다.

Theorem (Linear-Function Invertibility Theorem) : ​는 선형함수라고 하자. 그러면, ​가 가역적일 필요충분조건은 ​ 이고, ​ 이다.

7.4.5 Rank-Nullity 정리

​ 행렬 ​에 대해, ​을 ​ 라고 하자. 위의 Kernel-Image Theorem에 의해, ​이다. ​의 커널은 ​의 영공간(Null Space)이고, 행렬-벡터 곱셈의 선형결합 정의에 의해 ​의 상은 ​의 열공간이고, 따라서 다음을 얻는다.

​ 의 차원은 ​, 즉 ​의 열의 개수이고, ​의 열공간의 차원은 ​의 랭크라고 한다. 행렬 ​의 영공간의 차원은 ​의 Nullity 라고한다. <br />

Theorem (Rank-Nullity Theorem) : 임의의 ​-열 행렬 ​ 에 대해,

7.4.6 생략

7.4.7 행렬의 가역성

Corollary : ​는 ​ 행렬이라고 하면, ​가 가역적이 될 필요충분조건은 ​이고, ​의 열들은 선형독립일 때다.

• Proof : ​는 필드라고 하고, ​은 ​라 하면, ​가 가역행렬이 될 필요충분조건은 ​가 가역함수인 것이다. 7.4.4의 Theorem에 의하면, ​가 가역적일 필요충분조건은 ​이고 ​이다. 즉, ​이고, ​이다. 또한, ​일 필요충분조건은 행렬의 열벡터들이 선형결합인 것이다.

Corollary : 가역행렬의 전치행렬은 가역적이다.

• Proof : ​는 가역행렬이라고 하면, ​는 정방행렬이고 그 열들은 선형독립이다. ​은 열들의 개수라고 하고, 행렬을 다음과 같이 표현하자.

• ​의 열들은 선형독립이므로, ​의 랭크는 ​이다. ​는 정방행렬이므로, ​ 개의 행을 가진다. ​의 행랭크는 ​이고, 그 행들은 선형독립이다. 전치행렬 또한 마찬가지다.

Corollary : ​와 ​는 정방행렬이고 ​는 단위행렬이라고 하면, ​와 ​는 서로의 역행렬이다.

• Proof : ​는 ​ 행렬이라 하고, ​는 ​행렬이라고 하면, ​는 ​ 단위행렬 ​이다. ​의 열들은 선형독립이라는 것을 보여주자. ​는 ​을 만족하는 임의의 벡터라고 하면, ​ 이고, ​ 이므로, ​이다. ​ 는 가역적이므로 ​의 역행렬을 ​로 나타내고 ​은 ​ 단위행렬 ​이다.

Example 7.4.15 : ​은 정방행렬이지만 열벡터들이 선형독립이 아닌 선형종속이므로 이 행렬은 가역적이지 않다.

7.4.8 행렬의 가역성과 기저 변경

동일한 공간의 기저 ​과 ​에 대해, ​ 행렬 ​가 존재하며, 이 행렬 ​를 곱하면 ​에 대한 어떤 벡터의 좌표 표현이 동일한 벡터의 ​에 대한 좌표표현으로 변환된다. 행렬 ​는 가역적이다. 두 기저는 동일한 크기를 가져야 하며, 따라서 ​는 정방행렬이다.