[코딩더매트릭스]Chapter01 - 함수(Function)

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함수 - Function

1.1 집합에 대한 용어와 표기법

• 집합(set)은 수학 객체를 모아 놓은 것으로, 집합에 속하는 각 객체는 많아야 한 번 그 집합에 나타나는 것으로 간주한다.
• 이러한 집합에 속하는 객체를 원소(elements)라고 한다.
• 집합은 원소를 중괄호({})안에 열거하여 나타낸다.
• 집합은 원소들 사이에 순서가 없으므로 집합 내 원소의 순서는 중요하지 않다.
• 기호  원소(객체)가 집합에 속한다는 것을 나타낸다.
• 만약 어떤 집합 의 모든 원소가 다른 집합 에 속하면, 은 에 포함되고, 라고 표기한다.
• 집합은 원소수가 무한개인 무한집합일 수 있다.
• 집합 가 유한집합이면, 를 사용하여 집합의 크기(cardinality) 즉, 집합 의 원소 개수를 나타낸다

1.2 카테시안 곱(Cartesian product)

• 카테시안 곱은 데카크르 곱 또는 곱집합이라고도 함
• 두 집합 와 의 카테시안 곱(데카르트 곱)은 와 의 모든 쌍 로 이루어진 집합
• 

import numpy as np
 
A = {1, 2, 3}
B = {'a', 'b', 'c'}
 
A = np.array(list(A))
B = np.array(list(B))
 
np.transpose([np.tile(A, len(B)), np.repeat(B, len(A))])

1.3 함수(Function)

• 함수는 입력 가능한 집합 의 각 원소에 대해 출력을 할당하는 규칙
• 출력은 함수에 의한 입력의 상(image) 이고, 입력은 출력의 원상(pre-image)
• 이러한 집합 는 함수의 정의역(domain) 이라고 한다.
• 함수는 쌍 (a, b)들의 집합이며, 이때 각 쌍의 첫번째 원소는 모두 다르다.

• 함수  에 대해 에 의한 의 상(함수값)을 로 나타낸다.
• 만약, 이면, 는 에 의해 로 매핑된다 고 하고  로 표현한다.
• 함수를 나타낼 떄 함수의 공역(co-domain)을 명시하는 것이 편리하다.
• 공역은 함수값이 선택되는 집합이며, 공역의 모든 원소가 함수값, 즉 치역이 되어야하는 것은 아니다.
• 치역(image, range)은 모든 정의역 원소들에 대한 함수값들의 집합이다.

(출처: 위키피디아)

1) 항등함수(Identity function)

• 임의의 정의역 에 대해 함수 를 에 대한 항등함수라 한다.
• 모든 에 대해,  가 성립한다.

(출처: 위키피디아)

2) 함수의 합성

• 함수의 합성(functional composition)은 두 개의 함수를 결합하여 하나의 새로운 함수를 얻는 것이다.
•  와 에 대해, 
  함수  는 와 의 합성함수(composite function)라 하며, 정의역(domain)은 , 공역(co-domaion)은 이다. 
  이 합성함수는 모든 에 대해 다음과 같이 정의된다. 

(출처: 위키피디아)

3) 함수 합성의 결합법칙

• 함수 에 대해 합성함수가 존재한다면, 
  

4) 역함수(Inverse function)

• 역함수는 정의역과 함수값을 뒤집어 얻는 함수이다.
• 역함수를 가지는 함수를 가역적(invertable)이라고 한다.

(출처: 제타위키)

• 정의: 다음 조건이 만족하면 함수 와 는 서로의 역함수이다.
  • 가 정의되고, 의 정의역에 대해 항등함수이다
  • 가 정의되고, 의 정의역에 대해 항등함수이다
• 즉,  가 성립한다.

단사함수(one-to-one, injective function)

• 모든 에 대해  는 인 경우 는 단사함수(one-to-one)라 한다.
• 아래의 예제는 단사함수이나 전사함수가 아닌 경우이다.

(출처: 위키피디아)

전사함수(onto, surjective function)

• 모든 에 대해, 를 만족하는 가 존재하면, 는 전사함수(onto)라 한다.
• 아래의 예제는 전사함수이나 단사함수가 아닌 경우이다.

(출처: 위키피디아)

5) 역함수의 성질

• 가역함수(invertible function)는 단사함수(one-to-one)이다.  Lemma 1.3.16
• 가역함수는 전사함수(onto)이다.  Lemma 1.3.17
• 함수가 역함수를 가질 필요충분조건은 단사함수이면서 동시에 전사함수인 즉, 전단사함수인 경우이다.  Lemma 1.3.18
• 역함수가 존재할 경우 그 역함수는 항상 유일(unique)하다.  Lemma 1.3.19
• 와 가 가역함수이고 가 존재하면, 는 가역함수이고,  이다.  Lemma 1.3.20

(출처: 제타위키)

1.4 확률(Probability)

• 확률이론은 무엇이 일어날 수 있는지, 그것이 일어날 가능성이 얼마나 되는지에 관한 것이다.
• 확률이론은 확률에 대한 계산법이며, 가상적 실험에 대해 예측하는데 사용된다.

확률분포(Probability distributions)

• 확률분포는 확률변수가 특정한 값을 가질 확률을 나타내는 함수를 의미한다. 
  여기서 확률변수는 정의역, 사건(event)이며, 함수 값은 사건의 확률을 의미한다.
• 확률은 사건의 가능도(likelihood, 우도)에 비례한다고 가정한다.  참고

(출처: 위키피디아)

균등분포(discrete uniform distribution)

• 사건(event)에 대해 동일한 확률을 가지는 분포를 말한다.

(출처: 위키피디아)

정규분포(normal distribution, gaussian distribution)

• 정규분포는 연속확률분포의 하나이며 수집된 자료의 분포를 근사하는데 자주 사용된다.

(출처: 네이버 블로그)

1.5 Lab: 파이썬 소개 - 점프 투 파이썬 참고

리스트 컴프리헨션(List comprehensions)

• 하나의 리스트를 이용해 다른 리스트를 만드는 짧고 간단한 방법

a = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
squares = [x**2 for x in a]
print(squares)

딕셔너리 컴프리헨션(Dictionary comprehensions)

dic = {k:v for k, v in [('a', 1), ('b', 2), ('c', 3)]}
print(dic)